Vad är kraften i numret

• Skäl

Observera att det här avsnittet behandlar begreppet enbart examen med en naturlig indikator och noll.

Konceptet och egenskaperna hos grader med rationella exponenter (med negativ och fraktion) kommer att diskuteras i lektionerna för klass 8.

Så, låt oss förstå vad som är kraften i numret. För att spela in produkten av numret själv på sig flera gånger använd den förkortade notationen.

Istället för produkten av sex identiska faktorer 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 skriver de 4 6 och säger "fyra till sjätte graden".

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

Uttrycket 4 6 kallas kraften i numret, där:

• 4 - grunden för graden;
• 6 - exponent.

I allmänhet skrivs graden med basen "a" och indexet "n" med uttrycket:

Graden av talet "a" med det naturliga indexet "n", större än 1, är produkten av "n" lika faktorer, som var och en är lika med talet "a".

Notationen "a n" läses så här: "men till kraften i n" eller "nth effekten av talet a".

Undantagen är poster:

• a 2 - det kan uttalas som "en kvadrat";
• en 3 - det kan uttalas som "men i en kub".

Naturligtvis kan uttrycken ovan läsas för att bestämma graden:

• en 2 - "och i andra graden";
• en 3 - "och i den tredje graden."

Särskilda fall uppstår när exponenten är en eller noll (n = 1; n = 0).

Graden av siffran "a" med index n = 1 är själva numret:
a 1 = a

Något tal i nollgraden är en.
a 0 = 1

Noll i någon naturlig grad är noll.
0 n = 0

Enheten i vilken grad som helst är lika med 1.
1 n = 1

Uttrycket 0 0 (noll till noll) anses meningslöst.

När man löser exempel måste man komma ihåg att höjning till en kraft kallas att hitta ett numeriskt eller alfabetiskt värde efter att det höjts till en kraft.

Ett exempel. Öka till grad.

• 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
• (

Öka ett negativt tal

Graden av graden (ett tal som höjts till en kraft) kan vara vilket tal som helst - positivt, negativt eller noll.

När man höjer till en kraft av ett positivt tal erhålls ett positivt tal.

Vid konstruktion av en noll naturlig grad erhålls en noll.

När ett negativt tal ökar till en effekt kan resultatet antingen vara ett positivt tal eller ett negativt tal. Det beror på om exponent är udda eller udda.

Tänk på exempel på att höja effekten av negativa tal.

Från de övervägda exemplen är det uppenbart att om ett negativt tal höjdes till en udda grad, erhålles ett negativt tal. Eftersom produkten av ett udda antal negativa faktorer är negativt.

Om ett negativt tal höjs till en jämn effekt, erhålls ett positivt tal. Eftersom produkten av ett jämnt antal negativa faktorer är positivt.

Ett negativt tal som höjts till en jämn kraft är ett positivt tal.

Ett negativt tal som höjts till en udda effekt är ett negativt tal.

Kvadraten av ett tal är ett positivt tal eller noll, det vill säga:

a 2 ≥ 0 för alla a.

• 2 · (-3) 2 = 2 · (-3) · (-3) = 2 · 9 = 18
• -5 · (-2) 3 = -5 · (-8) = 40

Var uppmärksam!

När man löser exempel på exponentiering gör de ofta misstag, och glömmer att posterna (-5) 4 och -5 4 är olika uttryck. Resultaten av exponentieringen av dessa uttryck kommer att vara olika.

Att beräkna (-5) 4 betyder att man hittar värdet på den fjärde effekten av ett negativt tal.

Samtidigt med att hitta "-5 4" betyder att exemplet behöver lösas i två steg:

1. Höj till fjärde kraften ett positivt tal 5.
   5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2. Sätt minustecknet framför resultatet (det vill säga utför subtraktionsåtgärden).
   -5 4 = -625

Ett exempel. Beräkna: -6 2 - (-1) 4

1. 6 2 = 6 · 6 = 36
2. -6 2 = -36
3. (-1) 4 = (-1) · (-1) · (-1) · (-1) = 1
4. - (- 1) 4 = -1
5. -36 - 1 = -37

Förfarandet i exemplen med grader

Beräkningen av värdet kallas exponentiation action. Detta är åtgärden i det tredje steget.

I uttryck med krafter som inte innehåller parentesar utförs de först en kraft, multiplicera och dela dem och lägg till och dra i slutet.

Om det finns parentes i uttrycket, först i ovanstående ordning, utför åtgärderna i parentes och sedan de återstående åtgärderna i samma ordning från vänster till höger.

För att underlätta lösningen av exempel är det användbart att känna till och använda graderabellen, som du kan ladda ner gratis på vår hemsida.

För att kontrollera dina resultat kan du använda onlinegraderingsräknaren på vår hemsida.

Grad av antal: definitioner, beteckning, exempel.

I denna artikel kommer vi att förstå vad som är graden av antalet. Här kommer vi att ge definitioner av graden av ett tal, med en detaljerad titt på alla möjliga indikatorer på graden, börjar med den naturliga indikatorn och slutar med det irrationella. I materialet hittar du många exempel på grader som täcker alla de subtiliteter som uppstår.

Navigera på sidan.

Grad med en naturlig indikator, kvadrat av nummer, kub av nummer

Till att börja med kommer vi att ge en definition av graden av ett tal med ett naturligt index. Se framåt, vi säger att definitionen av graden av a med ett naturligt index n ges för ett verkligt tal a, som vi kommer att ringa till graden av graden och ett naturligt tal n, som vi kommer att ringa till exponenten. Vi noterar också att graden med det naturliga indexet bestäms genom produkten, så att för att förstå materialet nedan måste du ha en uppfattning om multiplicering av siffror.

Graden av a med ett naturligt index n är ett uttryck för formen a n, vars värde är lika med produkten av n-faktorer, vilka var och en är lika med a, det vill säga.
I synnerhet är graden av a med index 1 numret a själv, det vill säga en 1 = a.

Från denna definition är det uppenbart att med hjälp av en examen med ett naturligt index kan man avbilda arbeten med flera identiska faktorer. Till exempel kan 8 8 8 8 8 skrivas som examen 8 4. Detta är analogt med hur summan av identiska termer skrivs med ett arbete, till exempel 8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4 (se artikeln generell idé om multiplicering av naturliga siffror).

Omedelbart bör det sägas om reglerna för läsning grader. Det universella sättet att läsa en n-post är: "a till kraften i n". I vissa fall är sådana varianter också tillåtna: "a till nth grad" och "nth effekt av talet a". Ta till exempel betyg 8 12, detta är "åtta till tolv makt" eller "åtta till tolfte kraften" eller "den tolfte kraften av åtta".

Den andra graden av numret, liksom den tredje graden av numret, har egna namn. Den andra kraften i numret kallas kvadraten av numret, till exempel, 7 2 läser som "sju kvadrater" eller "kvadrat av siffran sju". Den tredje effekten av ett tal kallas en kub av ett tal, till exempel kan 5 3 läsas som "fem i en kub" eller säg "en kub av numret 5".

Det är dags att ge exempel på grader med naturliga indikatorer. Låt oss börja med graden 5 7, här 5 är graden av graden och 7 är exponent. Låt oss ge ett annat exempel: decimaltalet av 4,32 är basen och det positiva heltalet 9 är en exponent (4,32) 9.

Observera att i det sista exemplet skrivs basen av graden 4.32 i parentes: för att undvika skillnader, tar vi alla baser av graden inom parentes som skiljer sig från de naturliga siffrorna. Som ett exempel ger vi följande grader med naturliga indikatorer, deras baser är inte naturliga siffror, så de skrivs i parentes. Tja, för fullständig klarhet i det här ögonblicket visar vi skillnaden i registret i formuläret (-2) 3 och -2 3. Uttrycket (-2) 3 är graden av det negativa talet -2 med det naturliga indexet 3 och uttrycket -2 3 (det kan skrivas som - (2 3)) motsvarar numret motsatt värdet av graden 2 3.

Observera att det finns en notering för graden av a med index n i formen a ^ n. Dessutom, om n är ett multivalgt positivt heltal, tas exponenten i parentes. Till exempel är 4 ^ 9 en annan post i grad 4 9. Här är några fler exempel på inspelningsgrader med hjälp av symbolen "^": 14 ^ (21), (-2,1) ^ (155). I det följande kommer vi huvudsakligen att använda notationen för graden av formuläret a n.

Ovannämnda definition gör det möjligt att hitta värdet av graden med en naturlig indikator. För att göra detta beräknar du produkten av n lika faktorer som är lika med a. Detta ämne förtjänar detaljerad övervägning i en separat artikel - se exponering med en naturlig indikator.

En av uppgifterna, invers av konstruktionen med en naturlig indikator, är problemet att hitta basen av en examen med känt värde av en grad och en känd indikator. Denna uppgift leder till begreppet root från ett tal.

Det är också värt att utforska egenskaperna hos en examen med ett naturligt index, vilket följer av denna definition av graden och egenskaper för multiplikation.

Grad med heltal

När vi har bestämt graden av a med ett naturligt index, uppstår en logisk önskan att utvidga begreppet grad och gå vidare till graden av ett tal, varav ett heltal, inklusive negativ och noll, kommer att vara en indikator. Detta bör ske på ett sådant sätt att alla egenskaper hos en grad med ett naturligt index är giltiga, eftersom naturliga siffror är en del av heltal.

Graden av a med ett positivt heltal är inget mer än kraften hos a med en naturlig exponent: där n är ett positivt heltal.

Nu definierar vi nollkraft för a. Låt oss gå vidare från egenskaperna hos partiella krafter med samma baser: för naturliga tal m och n, m m: n n = a m - n (villkoret a ≠ 0 är nödvändigt, för annars skulle vi ha delning med noll). För m = n, leder den skriftliga likheten till följande resultat: a n: a n = a n - n = a 0. Men å andra sidan, ett n: n = 1 som kvotient med lika antal a n och a n. Därför måste vi acceptera en 0 = 1 för ett icke-realt tal a.

Men vad sägs om noll till noll grad? Tillvägagångssättet som används i föregående stycke är inte lämpligt för detta fall. Vi kan komma ihåg egenskapen av graden med samma baser en m · a n = a m + n, speciellt när n = 0, vi har en m · a 0 = a m (denna likhet visar också att en 0 = 1). För a = 0 får vi likvärdigheten 0 m · 0 0 = 0 m, som kan skrivas om som 0 = 0, det är sant för alla naturliga m, oavsett vad värdet på uttrycket 0 0 är lika med. Med andra ord kan 0 0 vara lika med vilket som helst nummer. För att undvika denna tvetydighet kommer vi inte att tilldela noll till kraften av noll någon mening (av samma skäl, när vi studerade division, gav vi inte mening till uttrycket 0: 0).

Det är lätt att verifiera att vår jämställdhet en 0 = 1 för icke-nollnummer a överensstämmer med egenskapen av grad till grad (a m) n = a m nn. För n = 0 har vi (a m) 0 = 1 och en m · 0 = a 0 = 1, och för m = 0 har vi (a 0) n = 1 n = 1 och a 0 · n = a 0 = 1.

Så vi kom till definitionen av en examen med en nollindikator. Graden av a med noll exponent (ett reellt tal utan noll) är en, det vill säga en 0 = 1 för en ≠ 0.

Låt oss ge exempel: 5 0 = 1, (33.3) 0 = 1, och 0 0 definieras inte.

Nollgraden för talet a bestäms, det återstår att bestämma heltal negativa graden av talet a. Detta hjälper oss all samma egenskap hos produkten av grader med samma baser en m · a n = a m + n. Vi tar m = -n, vilket kräver villkoret a ≠ 0, då a -n · n = a -n + n = a 0 = 1, varifrån vi sluter till att en n och a -n är ömsesidigt inversa siffror. Det är således logiskt att definiera talet a till heltal negativ grad -n som en fraktion. Det är lätt att verifiera att med en sådan uppgift är graden av ett icke-nollnummer a med en heltal negativ exponent alla egenskaper hos en grad med en naturlig exponent (se egenskaperna hos en exponent med en heltalsexponent) sanna, vilket är det vi strävat efter.

Låt oss låta definitionen av en examen med ett helt negativt index. Graden av a med ett negativt heltal -n (ett reellt tal utan noll) är en fraktion, det vill säga med ett ≠ 0 och ett positivt heltal n.

Tänk på den här definitionen av en examen med ett negativt heltal på specifika exempel :.

Sammanfattar informationen om denna artikel.

Graden av a med ett heltal z definieras som:

Grad med en rationell indikator

Från heltalsexponenter av talet a, föreslår övergången till en rationell indikator sig själv. Nedan definierar vi en grad med en rationell indikator, och vi kommer att göra det på ett sådant sätt att alla egenskaper hos graden med hela indikatorn bevaras. Detta är nödvändigt eftersom heltal ingår i rationella tal.

Det är känt att uppsättningen rationella tal består av heltal och bråknummer, och varje fraktionsnummer kan representeras som en positiv eller negativ vanlig fraktion. Vi definierade graden med heltalsexponenten i föregående stycke, och för att slutföra definitionen av exponent med rationell exponent måste vi ge mening åt graden av a med fraktionell exponent m / n, där m är ett heltal och n är naturligt. Låt oss göra det.

Tänk på en grad med en fraktionell exponent. För att egenskapen av en examen ska kunna innehålla en jämnhet måste jämlikheten uppfyllas. Om vi ​​tar hänsyn till den erhållna jämlikheten och hur vi bestämde grunden för nth graden är det logiskt att acceptera, förutsatt att för givet m, n och a, är uttrycket meningsfullt.

Det är lätt att verifiera att alla egenskaper i en grad med en heltalindikator är giltiga (detta görs i avsnittet om egenskaper för en examen med en rationell indikator).

Ovanstående resonemang tillåter oss att göra följande slutsats: Om, för givet m, n och a, uttrycket är meningsfullt är graden av a med ett bråkindex m / n roten till nth graden från a till graden m.

Detta uttalande tar oss nära till definitionen av en grad med en fraktionell exponent. Det är bara att skriva, för vilket m, n och ett är vettigt uttryck. Beroende på de begränsningar som ställs på m, n och a, finns det två grundläggande tillvägagångssätt.

Det är lättast att införa en restriktion på a, ta a≥0 för positiv m och a> 0 för negativ m (sedan för m≤0 är graden 0 m inte definierad). Då får vi följande definition av en grad med en fraktionell exponent.

Graden av ett positivt tal a med ett bråkindex m / n, där m är ett heltal och n är ett positivt heltal, kallas den n: a roten av a till m-maktens, dvs.

Den fraktionerade graden av noll bestäms också med den enda reservationen att indikatorn ska vara positiv.

Graden av noll med ett bråkigt positivt index m / n, där m är ett positivt heltal och n är ett positivt heltal definieras som.
När graden inte är bestämd, så är graden av antalet noll med en bråkdel negativ indikator inte meningsfull.

Det bör noteras att med en sådan definition av en grad med en fraktionell exponent finns en nyans: för några negativa a och några m och n är uttrycket meningsfullt, och vi har kasserat dessa fall genom att ange tillståndet a≥0. Till exempel är det meningsfullt att skriva eller, och den ovan angivna definitionen får oss att säga att grader med ett bråkindex för en art inte är meningsfulla, eftersom grunden inte ska vara negativ.

Ett annat tillvägagångssätt för att bestämma en grad med en bråkdel av m / n är att ta hänsyn till jämn och udda rotindex separat. Detta tillvägagångssätt kräver ett ytterligare villkor: graden av talet a, vars indikator är en minskad fraktion, anses graden av talet a, vars indikator är den motsvarande irreducerbara fraktionen (vi kommer att förklara vikten av detta tillstånd strax nedan). Det vill säga, om m / n är en irreducibel fraktion, då för något naturligt tal k, ersätts graden av.

För jämn n och positiv m, är uttrycket meningsfullt för alla icke-negativa a (den enda roten av ett negativt tal är inte meningsfullt), för negativ m, måste numret a också vara noll (divideras annars med noll). För udda n och positiva m kan antalet a vara vilken som helst (roten för en udda grad bestäms för vilket reellt tal) och för negativ m måste talet a vara nonzero (så att det inte finns någon delning med noll).

Ovanstående resonemang leder oss till en sådan definition av en grad med en fraktionell exponent.

Låt m / n vara en irreducibel fraktion, m vara ett heltal, och n vara ett positivt heltal. För någon reducerbar fraktion ersätts graden av. Graden av a med irreducerbar fraktionell exponent m / n är för

• vilket reellt tal a, ett positivt heltal m och ett udda positivt heltal n, till exempel;
• vilket icke-noll verkligt tal a, en hel negativ m, och en udda n, till exempel;
• vilket som helst icke-negativt tal a, heltal positivt m och jämnt n, till exempel;
• någon positiv a, heltal negativ m och jämn n, till exempel;
• i andra fall är graden med en fraktionell exponent inte definierad, till exempel graderna är inte definierade.

Vi förklarar varför en grad med en annullerbar fraktionell exponent ersätts preliminärt med en exponent med en irreducerbar exponent. Om vi ​​bara definierade graden som, och inte gjorde en reservation om irreducibiliteten av fraktionen m / n, skulle vi ställas inför situationer som följande: sedan 6/10 = 3/5 måste jämställdhet hålla, men a.

Observera att den första definitionen av en examen med ett bråkindex är lättare att använda än det andra. Därför kommer vi att använda det i framtiden.

graden av ett positivt tal a med ett bråkindex m / n definierar vi som för negativa a-poster vi inte bifogar någon mening bestäms graden av noll noll för positiva fraktionsindikatorer m / n som för negativa delindikatorer är graden av noll noll ej bestämd.

I sammanfattning av denna punkt uppmärksammar vi det faktum att den fraktionsexponenten kan skrivas i form av en decimalfraktion eller ett blandat antal, till exempel. För att beräkna värdena för uttryck av denna typ måste du skriva exponenten i form av en vanlig fraktion, använd sedan definitionen av en grad med en fraktionell exponent. För de angivna exemplen har vi och.

Gradera med en irrationell och giltig indikator

Det är känt att uppsättningen reella tal kan betraktas som föreningen av uppsättningarna av rationella och irrationella tal. Därför kan en examen med en giltig indikator anses vara definierad när en grad med en rationell indikator och en grad med en irrationell indikator bestäms. Vi pratade om graden med en rationell indikator i föregående stycke, det återstår att hantera graden med en irrationell indikator.

Begreppet grad av a med ett irrationellt index kommer att närmar sig gradvis.

Låt vara en sekvens av decimal approximationer av ett irrationellt tal. Ta till exempel ett irrationellt nummer, då kan du acceptera eller etc. Det är värt att notera att siffrorna är rationella.

Rationell siffra motsvarar en sekvens grader, och vi kan beräkna värdena för dessa grader på grundval av materialet i artikeln som höjs till en rationell grad. Till exempel, ta a = 3, och sedan, och efter att ha höjts till en kraft, får vi.

Slutligen konvergerar sekvensen till ett visst tal, vilket är värdet av kraften hos a med en irrationell exponent. Låt oss återvända till vårt exempel: En grad med en irrationell indikator på formen konvergerar till ett tal som är lika med 6,27 med en noggrannhet på ett hundra.

Graden av ett positivt tal a med ett irrationellt index är ett uttryck vars värde är lika med gränsen för sekvensen, var är i följd decimal approximationer av irrationellt tal.

Graden av antalet noll bestäms för positiva irrationella indikatorer, med detta. Till exempel. Och graden av talet 0 med en negativ irrationell indikator är inte bestämd, till exempel, är inte definierad.

Separat är det nödvändigt att säga om enhetens irrationella grad - enheten i någon irrationell grad är lika med 1. Till exempel, och.

Rötter och grader

grad av

Graden är ett uttryck för formen: där:

• - grunden för graden
• - exponent.

Grad med en naturlig indikator

Vi definierar begreppet en grad vars index är ett naturligt tal (det vill säga ett heltal och en positiv).

1. Enligt definition :.
2. Att ruta ett nummer är att multiplicera det själv:
3. Att bygga ett nummer i en kub betyder att multiplicera det själv tre gånger :.

Att höja ett tal till den naturliga graden innebär att multiplicera numret i sig igen:

Grad med heltal

Om exponenten är ett positivt heltal:

, n> 0

Höjd till noll grad:

, a ≠ 0

Om exponenten är ett negativt heltal:

, a ≠ 0

Obs: uttrycket är inte definierat, i fallet n ≤ 0. Om n> 0, då

Grad med en rationell indikator

• a> 0;
• n är ett naturligt tal
• m är ett heltal;

Egenskaper av grader

rot

Aritmetisk kvadratrot

Ekvationen har två lösningar: x = 2 och x = -2. Dessa är siffror vars ruta är 4.

Tänk på ekvationen. Låt oss rita en graf av funktionen och se att denna ekvation också har två lösningar, en positiv, den andra negativa.

Men i det här fallet är lösningarna inte heltal. Dessutom är de inte rationella. För att skriva ned dessa irrationella beslut introducerar vi en särskild kvadratrots tecken.

Den aritmetiska kvadratroten är ett icke-negativt tal, vars kvadrat är en ≥ 0. När a

Graden och dess egenskaper. Grader bestämning

Sektioner: Matematik

Att bekanta studenter med egenskaper av grader med naturliga indikatorer och lära sig hur man utför åtgärder med grader.

Ämnet "Graden och dess egenskaper" innehåller tre frågor:

• Bestämning av graden med en naturlig indikator.
• Multiplikation och fördelning av befogenheter.
• Öka graden av produkten och graden.

Formulera en definition av en grad med ett naturligt index större än 1. Ge ett exempel.

Formulera definitionen av en grad med indikatorn 1. Ge ett exempel.

Vad är ordningsföljden när man beräknar värdet på ett uttryck som innehåller en examen?

Formulera den grundläggande egenskapen för en examen. Ge ett exempel.

Formulera regeln för multiplicering av grader med samma baser. Ge ett exempel.

Formulera regeln att dela grader med samma baser. Ge ett exempel.

Formulera en regel för graden av arbete. Ge ett exempel. Bevisa identiteten (ab) n = a n • b n.

Formulera en gradexponeringsregel. Ge ett exempel. Bevisa identiteten (a m) n = a m n.

Graden av a med ett naturligt index n som är större än 1 är produkten av n-faktorer, som var och en är lika med a. Graden av a med index 1 är numret a själv.

Graden med bas a och index n är skrivet enligt följande: a n. Läs "a till kraften i n"; "N-th power of a".

Per definition, en examen:

Att hitta ett gradvärde kallas exponentiation.

1. Exempel på exponentiering:

0 4 = 0 • 0 • 0 • 0 = 0

(-5) 3 = (-5) • (-5) • (-5) = -125

2. Föreställ dig i form av ett kvadratnummer: 25; 0,09;

25 = 5 2; 0,09 = (0,3) 2;.

3. Ange i form av en kub siffrorna:

27 = 3 3; 0,001 = (0,1) 3; 8 = 2 3.

4. Hitta värdena för uttryck:

a) 3 • 10 3 = 3 • 10 • 10 • 10 = 3 • 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

1. Skriv arbetet som en examen:

c) b • b • b • b • b • b • b

d) (-x) • (-x) • (-x) • (-x)

d) (ab) • (ab) • (ab)

2. Present i form av ett kvadrattal:

3. Ange i form av en kub siffrorna:

4. Hitta värdena för uttryck:

För alla tal a och godtyckliga tal m och n:

a m a n = a m + n.

Regel: Vid multiplicering av grader med samma baser lämnas baserna oförändrade och exponenterna läggs till ihop.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

1. Present som examen:

a) x 5 • x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y • y 6 = y 1 • y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 • b 5 • b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 • 9 = 3 4 • 3 2 = 3 6

d) 0,01 • 0,1 3 = 0,1 2 • 0,1 3 = 0,1 5

2. Ange som en grad och hitta värdet i tabellen:

a) 2 3 • 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 • 3 5 = 3 7 = 2187

1. Present som examen:

a) x 3 • x 4 e) x 2 • x 3 • x 4

b) en 6 • en 2 g) 3 3 • 9

c) 4 • c) 7 4 • 49

d) a • a 8 i) 16 • 2 7

e) 2 3 • 2 4 k) 0,3 3 • 0,09

2. Ange som en grad och hitta värdet i tabellen:

a) 2 2 • 2 3 c) 8 • 2 5

b) 3 4 • 3 2 g) 27 • 243

För ett tal a 0 och godtyckliga positiva heltal m och n, så att m> n är sant:

en m: n n = a m - n

en m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

per definition privat:

en m: n n = a m - n.

Regel: När du delar grader med samma baser, lämnar basen samma, och divisor-graden subtraheras från exponenten.

Definition: Graden av a inte lika med noll, med en noll exponent lika med en:

Numbers. Graden av numret.

Det är ett välkänt faktum att summan av flera lika komponenter kan hittas med multiplikation. Till exempel: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5x6. Ett sådant uttryck sägs vara summan av lika komponenter som omvandlas till en produkt. Och vice versa, om vi läser denna jämlikhet från höger till vänster, får vi att vi har utökat summan av lika villkor. På samma sätt kan man kollapsa produkten av flera lika faktorer 5x5x5x5x5x5 = 5 6.

Det är istället för att multiplicera sex identiska faktorer 5x5x5x5x5x5, de skriver 5 6 och säger "fem till sjätte graden".

Uttrycket 5 6 är kraften i numret, där:

5 - grunden för graden

6 - exponent.

De åtgärder genom vilka produkten av lika faktorer minimeras till en kraft kallas exponentiering.

I allmänhet skrivs graden med basen "a" och indexet "n" som

För att höja talet a till kraften i n betyder att hitta produkten av n faktorer, varav en är en

Om basen av graden "a" är 1, är värdet av graden för vilken naturlig n som helst 1. Exempelvis 1 5 = 1, 1 256 = 1

Om vi ​​tar upp siffran "a" till första graden får vi numret a själv: a 1 = a

Om vi ​​lyfter upp ett tal till nollgraden, så får vi en som en följd av beräkningarna. a 0 = 1

Särskilda överväga andra och tredje graderna. För dem kom upp med namnet: den andra graden kallas kvadraten av numret, den tredje - kuben av detta nummer.

Eventuellt antal kan höjas till en kraft - positiv, negativ eller noll. Det använder inte följande regler:

-genom att hitta graden av ett positivt tal erhålles ett positivt tal.

-när vi beräknar noll i naturlig grad får vi noll.

- Vid beräkningen av graden av ett negativt tal kan resultatet vara både ett positivt tal och ett negativt tal. Det beror på om exponent är udda eller udda.

Om vi ​​löser några exempel på beräkning av graden av negativa tal visar det sig att om vi beräknar en udda grad av negativt tal kommer resultatet att vara ett tal med ett minustecken. Eftersom vi multiplicerar det udda antalet negativa faktorer erhåller vi ett negativt värde.

Om vi ​​beräknar en jämn grad för ett negativt tal, blir resultatet ett positivt tal. Eftersom vi multiplicerar ett jämnt antal negativa faktorer får vi ett positivt värde.

Egenskaper grad med en naturlig indikator.

För att multiplicera graderna med samma baser ändrar vi inte baserna och lägger till gradernas exponenter:

till exempel: 7 1,7 · 7 - 0,9 = 7 1,7+ (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

För att skilja graderna med samma baser ändrar vi inte basen, men subtraherar exponenterna:

till exempel: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Vid beräkningen av graden exponentiation ändrar vi inte basen och multiplicerar exponenterna för graderna.

till exempel: (2 3) 2 = 2 3 · 2 = 2 6

Om det är nödvändigt att beräkna erektionen till produktens grad, höjs varje faktor till denna grad.

till exempel: (2 · 3) 3 = 2 n · 3 m,

När vi gör beräkningar vid konstruktionen av en fraktion, lyfter vi täljaren och nämnaren av fraktionen till denna effekt.

till exempel: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

Sekvensen av beräkningar när man arbetar med uttryck som innehåller en grad.

När du utför beräkningar, uttrycker du utan parentes, men innehåller grader, utför du först exponentiering, multiplicera och dela upp åtgärder, och lägg sedan till och dra bara av funktionerna.

Om det är nödvändigt att beräkna ett uttryck som innehåller parentes, först i den ovan angivna ordningen, gör vi beräkningar inom parentes, och sedan återstående åtgärder i samma ordning från vänster till höger.

Mycket omfattande i praktiska beräkningar för förenkling av beräkningar använder färdiga tabeller av grader.

Förklara hur man hittar kraften i ett tal

Spara tid och se inte annonser med Knowledge Plus

Spara tid och se inte annonser med Knowledge Plus

Svaret

Svaret ges

19kot

Anslut Knowledge Plus för att få tillgång till alla svar. Snabbt, utan reklam och raster!

Missa inte det viktiga - anslut Knowledge Plus för att se svaret just nu.

Titta på videon för att komma åt svaret

Åh nej!
Response Views är över

Anslut Knowledge Plus för att få tillgång till alla svar. Snabbt, utan reklam och raster!

Missa inte det viktiga - anslut Knowledge Plus för att se svaret just nu.

Titta på videon för att komma åt svaret

Åh nej!
Response Views är över

• kommentarer
• Markera överträdelse

Svaret

Svaret ges

Nadirka212

Det mest rimliga är att sönderdela ett tal till primära faktorer, då kan du hitta både basen och exponenten.
Om basen är känd kan indikatorn hittas genom logaritmisering, till exempel,
2 ^ x = 8
För att hitta x måste du räkna båda delarna av basen 2
x = logga in bas 2 från 8 = ln 8 / ln 2 (detta kan beräknas på räknaren) = 3
Om indikatorn är känd kan basen hittas genom att extrahera roten, till exempel,
x ^ 3 = 8
extrahera den kubiska roten från båda delarna
x = kubisk rot av 8 = 2

Om varken vet den ena eller den andra, sönderdela ett tal i enkla faktorer, detta görs genom att successivt dela numret i primära faktorer.
614656/2 = 307328
307328/2 = 153664
153664/2 = 76832
76832/2 = 38416
38416/2 = 19208
19208/2 = 9604
9604/2 = 4802
4802/2 = 2401
2401 är inte delbar med 2, med 3, med 5 (successivt iterera över primtal)
2407/7 = 343
343/7 = 49
49/7 = 7
7/7 = 1
Totalt delas vi upp med 2 åtta gånger och 7 fyra gånger därför
614656 = 2 ^ 8 * 7 ^ 4
Om vi ​​vill hitta en representation i formuläret a ^ b med naturliga a och b och b måste vara maximala, då måste vi ta GCD för de grader som erhållits i sönderdelningen i primära faktorer, det vill säga i detta fall b = GCD (8.4) = 4
basen av grad a kommer att vara 2 ^ (8 / b) * 7 ^ (4 / b) = 2 ^ 2 * 7 ^ 1 = 4 * 7 = 28

Graden och dess egenskaper. Den ursprungliga nivån.

Graden är ett uttryck för formen: där:

Grad med heltal

vars grad är ett naturligt tal (dvs heltal och positiv).

Grad med en rationell indikator

graden av vilken är negativ och fraktionerad tal.

Gradera med en irrationell exponent

grad vars exponent är en oändlig decimalfraktion eller rot.

Egenskaper av grader

Egenskaper av grader.

• Ett negativt tal som höjts till en jämn kraft är ett positivt tal.
• Ett negativt tal som höjts till en udda effekt är ett negativt tal.
• Ett positivt tal i vilken grad som helst är ett positivt tal.
• Noll är lika med vilken grad som helst.
• Något tal är noll grad.

Vad är kraften i numret?

Exponentiation är samma matematiska operation som addition, subtraktion, multiplikation eller division.

Nu ska jag förklara allt på mänskligt språk med mycket enkla exempel. Var uppmärksam. Exempel är elementära men förklarar viktiga saker.

Låt oss börja med tillägget.

Det finns inget att förklara här. Du vet redan allt: det finns åtta av oss. Var och en har två flaskor cola. Hur mycket är cola? Det är rätt - 16 flaskor.

Multiplicera nu.

Samma exempel med koks kan skrivas annorlunda :. Matematiker är listiga och lata människor. De märker först några mönster, och sedan kommer ett sätt att snabbt "räkna" dem. I vårt fall märkte de att var och en av åtta personer hade samma antal flaskor cola och kom fram med en enhet som kallades multiplikation. Inse att det anses lättare och snabbare än.

Här är multiplikationstabellen. Upprepa.
Så, för att räkna snabbare, lättare och utan fel måste du bara komma ihåg multiplikationstabellen. Självklart kan du göra allt långsammare, svårare och med fel! Men...

Här är multiplikationstabellen. Upprepa.

Och en annan, vackrare:

Vilka andra kloka tricks i kontot uppfanns av lat matematiker? Korrekt - införandet av numret i examen.

Öka ett tal till en ström.

Om du behöver multiplicera numret självt fem gånger, säger matematikerna att du måste bygga detta nummer till femte graden. Till exempel. Matematiker minns att två till femte graden är detta. Och lösa sådana pussel i åtanke - snabbare, lättare och utan fel.

För att göra detta, kom ihåg bara vad som är markerat i färg i tabellen med grader av siffror. Tro mig, det här gör ditt liv mycket enklare.

Förresten, varför är den andra graden kallad kvadraten av ett tal och den tredje - kuben? Vad betyder detta? Mycket bra fråga. Nu kommer du att ha rutor och kuber.

Ett exempel från livet av №1.

Låt oss börja med ett kvadrat eller ett andra examensnummer.

Tänk dig en kvadratisk pool som mäter meter efter meter. Poolen ligger i din dacha. Värme och vill verkligen simma. Men... en pool utan botten! Det är nödvändigt att lägga botten av poolen plattor. Hur många plattor behöver du? För att bestämma detta måste du veta området i botten av poolen.

Du kan helt enkelt räkna, peka ett finger, att botten av poolen består av kuber av meter per meter. Om du har en kakelmätare efter meter behöver du bitar. Det är lätt... Men var såg du en sådan kakel? Kakan kommer sannolikt att se cm. Och då kommer du att plågas av "fingeren". Då måste du multiplicera. Så, på ena sidan av poolbotten, kommer vi att passa plattor (bitar) och å andra sidan, plattor. Multiplicera med, du får kakel ().

Har du märkt att för att bestämma området av poolbotten multiplicerade vi samma nummer i sig själv? Vad betyder detta? När samma antal multipliceras kan vi använda "exponentiation" -tekniken. (Naturligtvis, när du bara har två siffror, multiplicerar du dem fortfarande eller höjer dem till en makt. Men om du har många av dem är det mycket enklare att höja dem till en kraft och beräkningsfel är också mindre. För Unified State Exam är detta mycket viktigt)
Så, trettio till andra graden blir (). Eller så kan du säga att trettio kvadrat kommer att vara. Med andra ord kan den andra graden av ett tal alltid representeras som en fyrkant. Omvänt, om du ser en fyrkant, är det alltid den andra kraften i ett visst tal. En fyrkant är en andra gradersbild av ett tal.

Ett exempel från livet av №2.

Här är en uppgift för dig, beräkna hur många rutor på ett schackbräde med hjälp av en kvadrat av ett tal. På ena sidan av cellerna och å andra sidan också. För att beräkna deras nummer behöver du åtta gånger åtta eller... om du märker att ett schackbräde är en fyrkant med en sida, så kan du bygga åtta rutor. Få en cell. () Så?

Ett exempel från livet för nummer 3.

Nu kuben eller den tredje effekten av ett tal. Samma pool. Men nu behöver du veta hur mycket vatten du behöver hälla i denna pool. Du måste beräkna volymen. (Volymer och vätskor, förresten, mäts i kubikmeter. Oväntat, eller hur?) Rita en pool: botten är en meter stor och en meter djup och försök att beräkna hur många kuber i meter till mätare kommer att gå in i din pool.

Peka bara på fingret och räkna! En, två, tre, fyra... tjugo två, tjugo tre... Hur mycket hände det? Inte ute Är det svårt att räkna med ett finger? Det är det! Ta exempel på matematikerna. De är lata, så de märkte att för att beräkna poolens volym är det nödvändigt att multiplicera varandra med längd, bredd och höjd. I vårt fall är poolvolymen lika med kuber... Är det lättare, eller hur?

Och nu föreställ dig hur matematiker är lat och listiga, om de förenklade det också. Bragte allt till en enda åtgärd. De märkte att längden, bredden och höjden är lika och att samma antal multipliceras med sig själv... Och vad betyder detta? Det betyder att du kan använda graden. Så, vad du en gång räknat som ett finger, gör de i en handling: tre i en kub är lika. Det är skrivet så här :.

Det återstår bara att komma ihåg bordet av grader. Om du självklart är så lat och listig som matematiker. Om du gillar att arbeta hårt och göra misstag kan du fortsätta räkna med ditt finger.

Nåväl, för att äntligen övertyga dig om att graderna uppfanns av quitters och bedragare för att lösa sina livsproblem, och inte för att skapa problem för dig, här är några exempel på livet.

Ett exempel från livet av №4.

Du har en miljon rubel. I början av varje år tjänar du på varje miljon ytterligare en miljon. Det betyder att varje miljon i början av varje år fördubblas. Hur mycket pengar kommer du att ha i år? Om du sitter och "ringer ett finger", då är du en väldigt hårt arbetande person och... dum. Men troligtvis kommer du att ge ett svar på ett par sekunder, för att du är smart! Så, under det första året - två gånger två... i andra året - vad hände, med ytterligare två, under det tredje året... Sluta! Du märkte att numret multipliceras med sig en gång. Så två till femte graden - en miljon! Tänk nu att du har en tävling och de som får miljön kommer att bli snabbare att beräkna... Det är värt att komma ihåg graderna av siffrorna, hur tror du?

Ett exempel från livsnummer 5.

Du har en miljon. I början av varje år tjänar du på varje miljon ytterligare två. Wow, egentligen? Varje miljon tripplar. Hur mycket pengar kommer du att ha på ett år? Låt oss räkna. Det första året är att multiplicera med, då är resultatet fortfarande av... Det är redan tråkigt, för att du redan förstod allt: tre gånger multipliceras det själv. Så i fjärde graden är lika med en miljon. Du måste bara komma ihåg att tre till fjärde graden är eller.

Nu vet du att med hjälp av att höja ett tal till en kraft kommer du att underlätta ditt liv mycket. Låt oss titta vidare på vad du kan göra med grader och vad du behöver veta om dem.

Villkor och begrepp.

Så låt oss börja med att definiera begrepp. Vad tycker du är exponent? Det är väldigt enkelt - det här är numret som är "överst" av kraften i numret. Inte vetenskapligt, men förståeligt och lätt att komma ihåg...

Så på samma gång, vad är grunden för graden? Ännu enklare är numret längst ner, längst ner.

Här är en bild för din lojalitet.

Tja, i allmänhet, att sammanfatta och bättre komma ihåg... Graden med basen " och indikatorn " läses som "till graden" och skrivs enligt följande:

Vidare, varför säger "graden av siffror med en naturlig indikator"?

"Graden av siffror med en naturlig indikator"

Du har förmodligen redan gissat: eftersom exponenten är ett naturligt tal. Ja, men vad är ett naturligt nummer? Elementary! Naturnummer är de som används i kontot när du listar objekt: en, två, tre... När vi räknar objekt säger vi inte: "minus fem", "minus sex", "minus sju". Vi säger inte heller: "en tredjedel" eller "nollpunkt, fem tiondelar". Dessa är inte naturliga siffror. Och vad är dessa nummer som du tror?

Numrerar som "minus fem", "minus sex", "minus sju" hänvisar till heltal. I allmänhet inkluderar heltalstall alla naturliga siffror, siffror motsatta naturliga nummer (det vill säga taget med ett minustecken) och ett tal. Noll är lätt att förstå - det här är när det inte finns något. Och vad betyder negativa ("negativa") siffror? Men de uppfanns först och främst för att beteckna skulder: Om du har en balans i telefonen i rubel betyder det att du är skyldig till operatörsrörerna.

Bråk av något slag är rationella tal. Hur kom de till, vad tycker du? Mycket enkelt. Tusentals år sedan upptäckte våra förfäder att de saknar naturliga siffror för att mäta längd, vikt, område etc. Och de kom med rationella tal... Intressant, eller hur?

Det finns fortfarande irrationella tal. Vad är dessa nummer? Kort sagt, oändlig decimal. Om exempelvis omkretsen är uppdelad med dess diameter, erhålls ett irrationellt tal.

Sammanfattning:

• Naturnummer är siffrorna som används vid räkning, det vill säga etc.
• Heltal - alla naturliga siffror, naturliga siffror med en minus och numret 0.
• Bråknummer betraktas som rationella.
• Irrationella tal är oändliga decimaler

Grad med en naturlig indikator

Låt oss definiera begreppet en grad vars index är ett naturligt tal (dvs heltal och positiv).

1. Varje nummer i första graden är lika med sig själv:
2. Att ruta ett nummer är att multiplicera det själv:
3. Att bygga ett nummer i en kub betyder att multiplicera det själv tre gånger:

Definition. Att höja ett tal till den naturliga graden innebär att multiplicera numret i sig igen:
.

Grad av antal: definitioner, beteckning, exempel

Inom ramen för detta material analyserar vi vad graden av numret. Utöver de grundläggande definitionerna formulerar vi vad som är en examen med naturliga, hela, rationella och irrationella indikatorer. Som alltid kommer alla begrepp att illustreras med exempel på uppgifter.

Grader med naturliga exponenter: begreppet en kvadrat och en kub av ett tal

Först formulerar vi en grundläggande definition av en examen med ett naturligt index. För detta behöver vi återkalla de grundläggande reglerna för multiplikation. Låt oss förtydliga i förväg att som bas ska vi för närvarande ta ett reellt tal (betecknad med bokstaven a) och som en indikator, ett naturligt tal (betecknad med bokstaven n).

Graden av a med ett naturligt index n är produkten av n: e antalet faktorer, som var och en är lika med talet a. Graden är skriven så här: en n, och i form av en formel, kan dess sammansättning representeras enligt följande:

Om exempelvis exponenten är 1 och basen är a, är den första effekten av a skriven som en 1. Med tanke på att a är värdet på en multiplikator och 1 är antalet multiplikatorer, kan vi dra slutsatsen att a 1 = a.

I allmänhet kan man säga att graden är en lämplig form av inspelning av ett stort antal lika faktorer. Således kan rekordtypen 8 · 8 · 8 · 8 minskas till 8 4. Ungefär samma arbete hjälper oss att undvika att skriva ett stort antal termer (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Vi har redan analyserat detta i artikeln som ägnas åt multiplicering av naturliga nummer.

Hur läser du graden av graden? Det allmänt accepterade alternativet är "a till kraften i n". Eller du kan säga "n-graden a" eller "en n: a grad". Om vi ​​i exempelet har träffat posten 8 12 kan vi läsa "8 till 12: e graden", "8 till graden 12" eller "12: e graden till den 8: e".

Den andra och tredje graden har sina väletablerade namn: kvadrat och kub. Om vi ​​ser en andra examen, till exempel nummer 7 (7 2), då kan vi säga "7 kvadrat" eller "kvadrat med siffran 7". På samma sätt läser den tredje graden så här: 5 3 är "kuben i nummer 5" eller "5 i kuben". Det är emellertid också möjligt att använda standardformuleringen "i andra / tredje graden", det kommer inte vara ett misstag.

Låt oss undersöka ett exempel på en grad med en naturlig indikator: för 5 7 kommer de fem att vara basen och de sju - indikatorn.

Basen behöver inte vara ett heltal: för graden (4, 32) 9 kommer basen att vara en bråkdel av 4, 32, och indikatorn blir nio. Var uppmärksam på parenteserna: En sådan post är gjord för alla grader vars baser skiljer sig från de naturliga siffrorna.

Till exempel: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 4, 35 35, 7 3.

Vad är parenteserna för? De hjälper till att undvika misstag i beräkningarna. Låt oss säga att vi har två poster: (- 2) 3 och - 2 3. Den första av dessa betyder ett negativt tal minus två, upp till en kraft med ett naturligt index på tre; den andra är det antal som motsvarar det motsatta värdet av grad 2 3.

Ibland i böcker kan man stöta på en något annorlunda stavning av kraften i ett tal - a ^ n (där a är basen och n är indikatorn). Det vill säga 4 ^ 9 är detsamma som 4 9. Om n är ett multivalent nummer tas det i parentes. Exempelvis 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Men vi kommer att använda notationen en n som vanligare.

Hur man beräknar värdet på en grad med ett naturligt index är lätt att gissa från sin definition: du behöver bara multiplicera ett antal gånger. Mer om detta skrev vi i en annan artikel.

Konceptet av en examen är motsatsen till ett annat matematiskt begrepp - roten till ett tal. Om vi ​​vet värdet på graden och exponenten kan vi beräkna dess grund. Graden har några specifika egenskaper som är användbara för att lösa problem som vi har demonterat i ett separat material.

Vad är en examen med en hel indikator

När det gäller grader kan det inte bara vara naturliga men i allmänhet några heltal, inklusive negativa och nollor, eftersom de också hör till uppsättningen heltal.

Graden av ett tal med ett positivt heltal kan visas som en formel :.

Dessutom är n ett positivt heltal.

Vi kommer att förstå begreppet noll grad. För att göra detta använder vi ett tillvägagångssätt som tar hänsyn till den specifika egenskapen för krafter med lika baser. Den formuleras enligt följande:

Likheten en m: n n = a m - n är sann under förhållandena: m och n är naturliga tal, m n, a ≠ 0.

Det senare tillståndet är viktigt eftersom det undviker division med noll. Om värdena på m och n är lika får vi följande resultat: a n: a n = a n - n = a 0

Men samtidigt är en n: n = 1 kvoten av lika antal a n och a. Det visar sig att nollkraften för ett icke-nolltal är en.

Detta bevis gäller emellertid inte för noll till noll grad. För detta behöver vi en annan egenskap av grader - en egenskap av produkter av grader med lika baser. Det ser ut så här: en m · a n = a m + n.

Om n är 0, visar en m · a 0 = a m (denna likhet också oss att en 0 = 1). Men om och också är noll, tar vår jämlikhet formen 0 m · 0 0 = 0 m. Det kommer att vara sant för ett naturligt värde av n, och det spelar ingen roll vad värdet på graden är 0 0, det vill säga det kan vara lika med ett tal och det kommer inte att påverka jämlikhetens lojalitet. Därför har en skiva av formuläret 0 0 inte sin egen speciella betydelse, och vi kommer inte att tillskriva den.

Om det är önskvärt är det enkelt att verifiera att en 0 = 1 konvergerar med egenskapen för grad (a m) n = a m n, förutsatt att graden av graden är icke-noll. Således är graden av ett icke-nolltal med noll exponent en.

Låt oss undersöka ett exempel med konkreta tal: Så är 5 0 en enhet, (33, 3) 0 = 1, - 4 5 9 0 = 1, och värdet 0 0 är inte definierat.

Efter nollgraden förblir det för oss att ta reda på hur graden är negativ. För detta behöver vi samma egenskap hos produkten av grader med lika baser, som vi redan har använt ovan: en m · a n = a m + n.

Vi presenterar villkoret: m = - n, då a bör inte vara noll. Av detta följer att a - n n = a - n + n = a 0 = 1. Det visar sig att en n och a - n är ömsesidigt inversa siffror.

Som ett resultat är en i hela negativa graden ingen annan än fraktionen 1 a n.

En sådan formulering bekräftar att i en grad med ett helt negativt index är alla samma egenskaper som en grad med ett naturligt index (förutsatt att basen inte är noll) giltiga.

Graden av a med ett negativt heltal n kan representeras som en fraktion 1 a n. Således är a - n = 1 a n under villkoret a ≠ 0 och n vilket som helst positivt heltal.

Vi illustrerar vår tanke med konkreta exempel:

3 - 2 = 1 3 2, (- 4, 2) - 5 = 1 (- 4, 2) 5, 11 37 - 1 = 1 11 37 1

I den sista delen av stycket ska vi försöka skildra allt sagt tydligt i en formel:

Graden av a med ett naturligt index z är: az = az, e med l och z är heltalet av en l och z är 0 och z = 0 och en ≠ 0, (p p p och z = 0 och a = 0 p o l c e s i 0 0, vilket betyder en v a r oo o 0 0 n e O p e f eld i s) 1 az, e s c och z är en cell o r a c t a l a n o e h a s a l o a ≠ 0 ( e sl och z - är heltalet i serien och a = 0 oändligt med i 0 z, ego om N ote o p o d ia e c s i)

Vad är en rationell exponent?

Vi har behandlat fall där ett heltal är i exponenten. Det är dock möjligt att höja ett tal till en kraft även om ett bråknummer är i sitt index. Detta kallas en rationell exponent. Vid den här tiden visar vi att det har samma egenskaper som andra grader.

Vad är rationella tal? Deras uppsättning innehåller både hela och fraktionerade tal, medan fraktionerade tal kan representeras som vanliga fraktioner (både positiva och negativa). Vi formulerar definitionen av graden av a med en fraktionell exponent m / n, där n är ett positivt heltal och m är ett heltal.

Vi har viss grad med en bråkdel exponent a m n. För att egenskapen av graden till graden ska behålla, måste jämlikheten a m n n = a m n · n = a m vara sant.

Med hänsyn till definitionen av roten till n-graden och att en m n n = a m kan vi acceptera villkoret a m n = a m n om a mn är meningsfullt vid givna värden på m, n och a.

Ovannämnda egenskaper hos graden med ett heltal kommer att vara sanna under villkoret a mn = a mn.

Den viktigaste slutsatsen från vår resonemang är följande: graden av ett visst tal a med en fraktionell exponent m / n är roten till nth graden från talet a till graden m. Detta är sant om uttrycket a m n för sina givna värden för m, n och a behåller sin betydelse.

Därefter måste vi bestämma vilken typ av restriktioner som gäller för värdena för variabler som påför ett sådant tillstånd. Det finns två sätt att lösa detta problem.

1. Vi kan begränsa värdet på graden av graden: vi tar en, som för positiva värden på m kommer att vara större än eller lika med 0 och för negativa värden, strängt mindre (sedan för m ≤ 0 får vi 0 m, och denna grad är inte definierad). I detta fall kommer bestämningen av graden med ett bråkindex att vara enligt följande:

En grad med en fraktionell exponent m / n för ett visst positivt tal a är den nth roten av en upphöjd till maktens makt. I form av en formel kan detta representeras som:

För en grad med en nollbas är denna position också lämplig, men endast om dess index är ett positivt tal.

En grad med en nollbas och en bråkdel positiv m / n kan uttryckas som

0 m n = 0 m n = 0 under förutsättning av en hel positiv m och en naturlig n.

Med ett negativt förhållande m n 0 bestäms inte graden, d.v.s. En sådan rekord är inte meningsfull.

Observera en punkt. Eftersom vi har infört villkoret att a är större än eller lika med noll, har vi tappat några fall.

Uttrycket a mn är ibland fortfarande meningsfullt för några negativa värden på a och några m. Så, posterna (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 är korrekta, där basen är negativ.

2. Det andra tillvägagångssättet är att separat betrakta roten a mn med jämn och udda index. Då måste vi introducera ett ytterligare villkor: graden a, i indexet som den reducerade fraktionen är värd, betraktas som graden av a, vars index motsvarar den motsvarande irreducerbara fraktionen som motsvarar den. Senare kommer vi att förklara varför detta tillstånd är för oss och varför det är så viktigt. Om vi ​​har rekordet en mk k, kan vi sålunda minska det till en mn och förenkla beräkningarna.

Om n är ett udda tal och m är positivt, är a ett icke-negativt tal, då är ett m n meningsfullt. Villkoret för nonnegative a är nödvändigt, eftersom roten till en jämn kraft inte extraheras från ett negativt tal. Om värdet på m är positivt, kan a vara både negativt och noll sedan udda graderrot kan extraheras från valfritt nummer.

Kombinera alla data ovan definieringar i en post:

Här betyder m / n en irreducerbar fraktion, m är ett heltal och n är ett positivt heltal.

För en vanlig reducerad fraktion m · k n · k kan graden ersättas med en mn.

Graden av talet a med ett irreducerbart fraktionsindex m / n kan uttryckas som ett mn i följande fall: - för några reella a, positiva heltalvärden på m och udda naturliga värden på n. Exempel: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

- för några icke-reella a, heltal negativa värden på m och udda värden på n, till exempel 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

- för några icke-negativa a, heltal positiva värden på m och jämn n, exempelvis 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

- för någon positiv a, heltal negativ m och jämn n, till exempel 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3,.

Vid andra värden definieras graden med en fraktionell exponent inte. Exempel på sådana grader: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Låt oss nu förklara vikten av tillståndet som nämnts ovan: varför ersätta en fraktion med ett reducerat index med en bråkdel med en irreducibel fraktion. Om vi ​​inte skulle göra det, skulle vi ha sådana situationer, säg 6/10 = 3/5. Då ska det vara sant (- 1) 6 10 = - 1 3 5, men - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 och (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.

Bestämning av graden med ett bråkindex, som vi citerade först är mer praktiskt att träda i bruk än det andra, därför kommer vi att använda det vidare.

Således definieras graden av ett positivt tal a med ett bråkindex m / n som 0 m n = 0 m n = 0. I fallet med negativ a är ingången a mn inte meningsfull. Graden av noll för positiva fraktionsindikatorer m / n definieras som 0 m n = 0 m n = 0, för negativa delindikatorer vi definierar inte graden av noll.

I slutsatserna noterar vi att vi kan skriva ett fraktionsindex både i form av ett blandat tal och i form av en decimalfrakt: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Vid beräkning är det bättre att ersätta exponent med en vanlig fraktion och sedan använda definitionen av exponent med en fraktionell exponent. För exemplen ovan får vi:

5 1, 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Vad är en examen med en irrationell och giltig indikator

Vad är reella tal? Deras uppsättning innehåller både rationella och irrationella tal. För att förstå vad graden är med en giltig indikator behöver vi därför definiera grader med rationella och irrationella indikatorer. Om rationella har vi redan nämnt ovan. Vi kommer att hantera irrationella indikatorer steg för steg.

Antag att vi har ett irrationellt tal a och en sekvens av dess decimal approximationer a 0, a 1, a 2,.... Ta till exempel värdet a = 1, 67175331... sedan

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671,..., a 0 = 1, 67, a 1 = 1, 6717, a 2 = 1, 671753,...

och så vidare (med approximationerna själva är rationella tal).

Sekvenser av approximationer vi kan associera en sekvens grader a a 0, a a 1, a a 2,.... Om vi ​​minns att vi tidigare berättade om att räkna upp tal i en rationell grad, kan vi beräkna värdena för dessa grader oss själva.

Ta till exempel a = 3, sedan a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753,... och så vidare

Sekvensen av grader kan reduceras till ett tal, vilket kommer att vara värdet av grad c med bas a och det irrationella indexet a. Sammanfattningsvis: en examen med ett irrationellt index av formuläret 3 1, 67175331.. kan minskas till antalet 6, 27.

Graden av ett positivt tal a med en irrationell exponent a är skrivet som ett a. Dess värde är gränsen för sekvensen a a 0, a a 1, a a 2,... där en 0, a 1, a 2,... är på varandra följande decimal approximationer av irrationellt tal a. En nollbasgrad kan också definieras för positiva irrationella indikatorer, med 0 a = 0 Således, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Och för negativa kan detta inte göras, eftersom värdet 0 - 5, 0 - 2 π till exempel är odefinierat. En enhet som höjts till någon irrationell grad förblir exempelvis en enhet, och 1 2, 1 5 till 2 och 1 - 5 kommer att vara lika med 1.